1 학습 목표와 로드맵

tidy 시계열 구조(tsibble)와 기본 시각화(시간 플롯) 이해
추세·계절·순환 패턴 파악 및 계절/하위시계열 플롯 활용
산점도/시차도/자기상관으로 의존 구조 진단
백색잡음 개념과 잔차 진단의 기준 정립

2 tsibble 객체 (tidy 시계열 구조)

2.1 이론 요약

tsibble은 index(시간축)와 key(개체 식별자)를 명시한 tidy 시계열 데이터 구조이다.
tsibble → feasts(진단/변환) → fable(모형/예측)로 이어지는 tidyverts 워크플로의 출발점이다.
중복/결측 시점 처리, 간격(interval) 체크 등 데이터 품질을 엄격히 관리해야 한다.

global_economy

global_economy는 1960년부터 2017년까지 셰계은행에서 추출한 세계 각국의 GDP, 물가, 수입/수출 등을 나타내는 자료임

tourism

1998년 1분기부터 2016년 4분기까지 1박이상 호주의 인바운드 관광객 수를 나타내는 자료임
tsibble이란 객체는 R에서 다중 시계열을 저장하고 이를 제어할 수 있는 것으로 볼 수 있음
tsibble은 다음 형식을 가지고 있음:
- An index(인덱스): 관측치의 시간 정보
- Measured variable(s)(측정 변수): 관심 있는 수치(값)
- Key variable(s): 각 시계열을 구분하는 고유 식별자
tsibble은 tidyverse함수를 이용하여 제어한다.

2.2 `tsibble` 인덱스

2.2.1 예제

mydata <- tsibble(
  year = 2015:2019,
  y = c(123, 39, 78, 52, 110),
  index = year
)
mydata

mydata <- tibble(
  year = 2015:2019,
  y = c(123, 39, 78, 52, 110)
) |>
  as_tsibble(index = year)
mydata

일년에 한 번 이상 관측되는 데이터에 관해서는 인덱스의 시간계급(time class) 함수를 사용해야만 한다.

z |>
  mutate(Month = yearmonth(Month)) |>
  as_tsibble(index = Month)

보통 시간 인덱스 변수는 다음과 같은 함수를 이용해서 생성한다.

Frequency	Function
Quarterly	`yearquarter()`
Monthly	`yearmonth()`
Weekly	`yearweek()`
Daily	`as_date()`, `ymd()`
Sub-daily	`as_datetime()`

2.2.2 호주의 수감자 통계

csv파일을 읽고 이를 tibble로 변환

prison <- readr::read_csv("data/prison_population.csv")

## Rows: 3072 Columns: 6
## ── Column specification ────────────────────────────────────────────────────────
## Delimiter: ","
## chr  (4): state, gender, legal, indigenous
## dbl  (1): count
## date (1): date
## 
## ℹ Use `spec()` to retrieve the full column specification for this data.
## ℹ Specify the column types or set `show_col_types = FALSE` to quiet this message.

prison <- readr::read_csv("data/prison_population.csv") |>
  mutate(Quarter = yearquarter(date))

## Rows: 3072 Columns: 6
## ── Column specification ────────────────────────────────────────────────────────
## Delimiter: ","
## chr  (4): state, gender, legal, indigenous
## dbl  (1): count
## date (1): date
## 
## ℹ Use `spec()` to retrieve the full column specification for this data.
## ℹ Specify the column types or set `show_col_types = FALSE` to quiet this message.

prison <- readr::read_csv("data/prison_population.csv") |>
  mutate(Quarter = yearquarter(date)) |>
  select(-date)

## Rows: 3072 Columns: 6
## ── Column specification ────────────────────────────────────────────────────────
## Delimiter: ","
## chr  (4): state, gender, legal, indigenous
## dbl  (1): count
## date (1): date
## 
## ℹ Use `spec()` to retrieve the full column specification for this data.
## ℹ Specify the column types or set `show_col_types = FALSE` to quiet this message.

prison <- readr::read_csv("data/prison_population.csv") |>
  mutate(Quarter = yearquarter(date)) |>
  select(-date) |>
  as_tsibble(
    index = Quarter,
    key = c(state, gender, legal, indigenous)
  )

## Rows: 3072 Columns: 6
## ── Column specification ────────────────────────────────────────────────────────
## Delimiter: ","
## chr  (4): state, gender, legal, indigenous
## dbl  (1): count
## date (1): date
## 
## ℹ Use `spec()` to retrieve the full column specification for this data.
## ℹ Specify the column types or set `show_col_types = FALSE` to quiet this message.

2.2.3 호주 의약품 급여제도

호주 의약품 급여제도(PBS)는 호주 정부의 대표적인 의약품 보조금 제도이다.
- 많은 약국에서 구매되는 의약품은 현대 의약품에 대한 보다 공평한 접근을 위해 정부 보조를 받는다.
- 정부 지출 규모는 구매된 의약품의 수량과 유형에 의해 결정된다. 현재는 국내총생산(GDP)의 약 1% 수준이다.
- 총비용은 의약품 사용량 예측에 근거해 예산으로 편성된다.
- 비용은 약물 유형(ATC1 × 15 / ATC2 84), 감면 범주(× 2), 환자 유형(× 2)으로 세분되며, 결과적으로 \(84\times 2\times 2=r 84*2*2\)개의 시계열이 생성된다.

PBS

filter()함수를 이용하여 원하는 열을 선택할 수 있다.

PBS |>
  filter(ATC2 == "A10")

select()함수를 이용하여 원하는 열을 선택할 수 있다.

PBS |>
  filter(ATC2 == "A10") |>
  select(Month, Concession, Type, Cost)

summarise()함수를 이용하여 주요 변수의 요약통계량을 구할 수 있다.

PBS |>
  filter(ATC2 == "A10") |>
  select(Month, Concession, Type, Cost) |>
  summarise(TotalC = sum(Cost))

mutate() 함수를 이용해 새로운 변수를 만들어 낼 수도 있다.

PBS |>
  filter(ATC2 == "A10") |>
  select(Month, Concession, Type, Cost) |>
  summarise(TotalC = sum(Cost)) |>
  mutate(Cost = TotalC / 1e6) -> a10

3 시계열 시각화(기본)

3.1 이론 요약

시계열 도표는는 시간에 따른 수준·변화를 가장 직관적으로 보여준다.
autoplot()/ggplot2를 활용하면 여러 시계열을 겹쳐 비교하거나, 변환(로그/차분) 전후를 손쉽게 시각화할 수 있다.
기간 선택, 스무딩, 강조(색/선형) 등으로 메시지를 명확하게 전달하여보자.

3.2 R 그래픽

Plot은 데이터의 다음과 같은 것을 보여준다
- 패턴;
- 이상 관측치;
- 시간에 따른 변화;
- 변수들간의 관계.

3.3 시계열 도표

호주 항생제 판매액 도표

a10 |>
  autoplot(Cost) + 
  labs(y = "$ (millions)", title = "호주 항생제 판매액")

Ansett 항공사 승객 데이터

ansett |>
  autoplot(Passengers)

ansett |>
  filter(Class == "Economy") |>
  autoplot(Passengers)

ansett |>
  filter(Airports == "MEL-SYD") |>
  autoplot(Passengers)

4 시계열 패턴(추세·계절·순환)

4.1 이론 요약

추세(장기 변화), 계절성(주기적 변동), 순환(경기적 변동)을 분리해보면 원인과 해석이 쉬워진다.
분해 기법: STL(Loess), X-13, SEATS 등. 실습에서는 STL을 주로 사용한다.
계절성이 강하면 로그 변환이나 계절 조정을 먼저 고려한다.

4.2 시계열의 구성요소

추세세: 자료에 장기적인 증가 또는 감소 경향이 존재할 때의 패턴.

예: \(T_t\)를 추세라 하면, 대표적 표현은 선형/다항/스무딩 추세

\[ T_t = \beta_0 + \beta_1 t \quad\text{(선형)},\qquad T_t = \sum_{j=0}^p \beta_j t^j \quad\text{(다항)} \]

또는 로컬 레벨/로컬 선형(상태공간) 등 확률적 추세.

계절요인: 시계열이 계절 요인(분기/월/요일 등)에 의해 주기적 영향을 받을 때의 패턴.

계절 주기 \(s\)에 대해 완전 주기성:

\[ S_{t+s} = S_t,\qquad \sum_{j=1}^{s} S_{t-j+1} = 0 \;(\text{식별 제약, 가산형}) \]
더미로 표현: \(S_t = \sum_{j=1}^{s} \gamma_j D_{j,t},\ \sum_{j=1}^s \gamma_j = 0\)
조화형으로도 표현 가능:

\[ S_t = \sum_{k=1}^{\lfloor s/2\rfloor} \left[a_k \cos\!\left(\tfrac{2\pi kt}{s}\right)+ b_k \sin\!\left(\tfrac{2\pi kt}{s}\right)\right] \]

순환요인: 고정된 주기가 아닌(변동하는 길이) 상승·하락이 나타나는 패턴. 보통 2년 이상 지속하는 것.

감쇠 진동을 갖는 AR(2)로 근사 가능(복소근):

\[ C_t = 2\rho\cos(\omega)\,C_{t-1} - \rho^2 C_{t-2} + \varepsilon_t,\qquad \text{평균 주기} \approx \frac{2\pi}{\omega},\ \ 0<\rho<1 \]

시계열의 분해

가장 흔한 분해방법은 다음과 같다.

가산형(additive):

\[ y_t = T_t + S_t + C_t + E_t \]
승수형(multiplicative):

\[ y_t = T_t \times S_t \times C_t \times \varepsilon_t \]

(로그 변환 \(\tilde y_t=\log y_t\)을 쓰면 가산형으로 변환되어 추정이 용이)

여기서 \(E_t\) 또는 \(\varepsilon_t\)는 평균 0, 상수분산을 갖는 교란(통상 백색잡음 가정).

4.3 계절성과 순환의 차이

주기 길이
- 계절성: 고정 길이 \(s\) (예: 월별 \(s=12\), 분기별 \(s=4\))
- 순환: 가변 길이(경기 국면에 따라 길이/모양이 달라짐)
평균 길이
- 순환의 평균 길이는 계절성의 길이보다 더 김(보통 2년 이상)
변동 폭
- 순환의 진폭은 계절성보다 더 가변적(크게/작게 출렁임)
변환/진단
- 계절성: \(\nabla_s y_t\)로 체계적으로 제거 가능, ACF에서 **\(s,2s,\dots\)**의 뚜렷한 스파이크
- 순환: 고정 주기 제거가 어려워 AR(2) 감쇠 진동, HP/기타 필터, 저주파 스펙트럼으로 접근 (ACF가 사인파 형태로 서서히 감쇠)

스펙트럼 관점 * 계절성은 계절 주파수 \(\tfrac{2\pi k}{s}\)에서 예리한 피크(선 스펙트럼)가 나타나는 반면, * 순환은 저주파 대역에서 완만한 능선(ridge) 형태로 에너지가 분포하는 경향.

4.3.1 실무 팁

계절성이 강하면 로그 변환 + 계절차분이나 STL 분해로 먼저 구조를 분리한 뒤 모형화.
순환을 모형화할 땐 AR(2)/ARIMA의 복소근(감쇠 진동)이나 상태공간(로컬 레벨+주기 성분), 또는 HP 필터 등으로 장단기를 구분해 해석.
잔차는 백색잡음에 근접해야 하며, 계절/순환 신호가 잔차에 남지 않도록 ACF/PACF·Ljung–Box로 점검.

4.3.2 예제

호주 전력생산량량

aus_production |>
  filter(year(Quarter) >= 1980) |>
  autoplot(Electricity) +
  labs(y = "GWh", title = "호주 전력생산량량")

호주 벽돌생산량

aus_production |>
  autoplot(Bricks) +
  labs(y = "백만개개", title = "호주 벽돌 생산량")

미국 소매업 취업자수

us_employment |>
  filter(Title == "Retail Trade", year(Month) >= 1980) |>
  autoplot(Employed / 1e3) +
  labs(y = "백만명", title = "미국 소매업 취업자수")

아마존 주식 종가

gafa_stock |>
  filter(Symbol == "AMZN", year(Date) >= 2018) |>
  autoplot(Close) +
  labs(y = "미 달러", title = "아마존 주식 종가")

캐나다 연간 여우 포획량량

pelt |>
  autoplot(Lynx) +
  labs(y = "마리", title = "캐나다 연간 여우우 포획량")

4.4 계절요인(Seasonal)인가, 순환요인인(Cyclic)인가?

계절성과 순환의 차이점

주기 길이: 계절 패턴은 고정 길이(예: 분기 s=4, 월 s=12), 순환 패턴은 가변 길이.
평균 길이: 순환의 평균 길이는 계절성의 길이보다 더 김(보통 2년 이상 지속).
진폭(크기) 변동성: 순환의 진폭은 계절성보다 더 변동적.

💡 핵심 계절 자료에서는 **정점(peak)**과 **저점(trough)**의 시점이 예측 가능하지만, 순환은 장기적으로 시점이 불확실함

4.4.1 이론 보충

1) 계절성의 정의와 성질

주기 \(s\)에 대해 완전 주기성:

\[ S_{t+s}=S_t,\qquad \sum_{j=1}^{s} S_{t-j+1}=0 \quad(\text{가산형 식별 제약}) \]
계절차분 \(\nabla_s=(1-B^s)\)로 제거 가능: \(\ \nabla_s y_t = y_t - y_{t-s}\).
ACF 서명: 시차 \(s, 2s, 3s,\dots\)에서 뚜렷한 스파이크.
스펙트럼: \(\tfrac{2\pi k}{s}\) (정수 \(k\))에서 선형(날카로운) 피크.

2) 순환의 정의와 근사 표현

고정 주기가 아님: 경기 국면에 따라 길이·진폭이 변함(보통 2년 이상).
**감쇠 진동 AR(2)**로 근사(복소근 존재):

\[ C_t = 2\rho\cos(\omega)\,C_{t-1} - \rho^2 C_{t-2} + \varepsilon_t,\quad 0<\rho<1, \]

\[ \text{평균 주기} \approx \frac{2\pi}{\omega},\ \ \text{진폭은 } \rho^h \text{로 감쇠} \]
ACF 서명: 사인파처럼 진동하며 서서히 감쇠(damped sinusoid).
스펙트럼: 저주파 대역에서 넓은 봉우리(능선) 형태.

3) 분해 모형과 실무 팁

가산형: \(y_t = T_t + S_t + C_t + E_t\), 승수형: \(y_t = T_t \times S_t \times C_t \times \varepsilon_t\). (로그 변환 \(\log y_t\)은 승수형을 가산형으로 바꿔 추정 용이)
계절성 강함 → STL/X-13로 계절 제거 또는 \(\nabla_s\) 적용 후 모형화.
순환은 고정 주기가 아니므로 AR(2)/ARIMA 복소근, HP/밴드패스 필터나 **상태공간(주기 성분)**로 접근.

4) 식별 체크리스트

계절성
- \(\nabla_s y_t\) 적용 시 계절 패턴이 사라짐
- ACF가 \(s,2s,\dots\)에 반복 스파이크
- 더미 계절 회귀의 F-검정 유의
순환
- ACF가 진동+감쇠 형태
- 평균 주기 길이가 \(s\)보다 길고 시점 변동
- 스펙트럼이 저주파에 넓게 분포

5) 예측 관점

계절: 정점·저점의 캘린더 시점이 예측 가능 → s-naive/계절 ETS/ARIMA가 강력한 기준선.
순환: 시점·진폭 불확실 → 장기 예측 불확실성 큼, 시나리오/구간 예측 강조.

5 계절 도표(Seasonal plots)

5.1 이론 요약

계절 도표는 같은 달(또는 분기)끼리 묶어 계절 패턴을 한눈에 보여줌
계절성의 위상(peak/low), 변동성 변화(분산 상승/하락)를 쉽게 파악
a10 시계열

a10 |> 
  autoplot(Cost)

5.2 시계열 도표

a10 |> gg_season(Cost, labels = "both") +
  labs(y = "$ million", title = "Seasonal plot: antidiabetic drug sales")

데이터가 관측된 각 “season”(이 경우 월)별로 그린 그래프.
일반적인 시계열 플롯과 비슷하지만, 각 season의 데이터가 서로 겹쳐 보이도록 배치된다.
기저 계절 패턴을 더 선명하게 보여 주며, 계절 패턴에서 크게 벗어나는 구간도 쉽게 식별할 수 있다.
R에서는: gg_season()

5.3 예제: 분기별 호주 맥주 생산량

beer <- aus_production |> 
   select(Quarter, Beer) |> filter(year(Quarter) >= 1992)
beer |> autoplot(Beer) + 
  labs(title = "호주 맥주 생산량", y = "메가리터")

beer |> autoplot(Beer) + geom_point() + 
  labs(title = "호주 맥주 생산량", y = "메가리터")

beer |> gg_season(Beer, labels = "right")

5.4 다양한 계절 효과 도표

vic_elec

vic_elec |> autoplot()

## Plot variable not specified, automatically selected `.vars = Demand`

vic_elec |> gg_season(Demand)

vic_elec |> gg_season(Demand, period = "week")

vic_elec |> gg_season(Demand, period = "day")

6 Subseries 도표

6.1 이론 요약

각 계절(예: 1월, 2월…)의 부분 시계열을 따로 그려 비교.
월별 평균·분산·추세 차이를 시각적으로 확인하고, 계절 더미 또는 가변 계절성의 필요성을 점검.

6.2 계절표 subseries 도표

항생제 매출

a10 |>
  gg_subseries(Cost) +
  labs(y = "백만 달러", title = "Subseries 도표: 항생제 매출")

각 season(월·분기 등)별 데이터를 모아, season별로 분리된 시계열로 한 그림에 나타낸다.
기저 계절 패턴을 선명하게 보여 주며, 시간이 지나면서 계절성이 어떻게 변하는지도 시각화할 수 있다.
R에서는: gg_subseries()

6.3 예제: 분기별 호주 맥주 생산량

beer <- aus_production |>
  select(Quarter, Beer) |>
  filter(year(Quarter) >= 1992)
beer |> autoplot(Beer)

beer |> gg_subseries(Beer)

6.4 예제: 호주의 휴일과 관광업

holidays <- tourism |>
  filter(Purpose == "Holiday") |>
  group_by(State) |>
  summarise(Trips = sum(Trips))

holidays |> autoplot(Trips) +
  labs(y = "천 번", title = "호주의 국내휴가")

6.5 계절성 도표

holidays |> gg_season(Trips) + 
   facet_wrap(vars(State), nrow = 2, scales = "free_y")+
   labs(y = "천 번", title = "호주의 국내휴가")

holidays |>
  gg_subseries(Trips) +
  labs(y = "천 번", title = "호주의 국내휴가")

7 산점도(시계열과 설명변수)

7.1 이론 요약

두 변수의 관계(선형/비선형/이상치)를 탐색
시계열 데이터라도 동일 시점의 교차단면적 관계를 볼 때 산점도가 유용함
상관과 인과는 다릅니다. 시차 효과는 다음 절의 lag plot/ACF에서 확인함

7.2 예제: 호주 빅토리아주 전기수요

vic_elec_day_type <- vic_elec |> 
   filter(year(Time) == 2014) |> 
   mutate(Day_Type = case_when(
      Holiday ~ "Holiday",
      wday(Date) %in% 2:6 ~ "Weekday",
      TRUE ~ "Weekend"))
vic_elec_day_type

7.2.1 시계열 도표

7.2.2 산포도

vic_elec_day_type |> 
  ggplot(aes(x = Temperature, y = Demand)) +
  geom_point() + 
   labs(x = "온도(섭씨)", y = "전기수요 (GW)")

vic_elec_day_type |> 
  ggplot(aes(x = Temperature, y = Demand, colour = Day_Type)) +
  geom_point() + 
   labs(x = "온도(섭씨)", y = "전기수요 (GW)")

7.3 상관계수

두 변수(\(y\) and \(x\)) 사이의 선형관계의 정도를 측정 .

\(r=\frac{\sum_{t=1}^T(y_t-\bar{y})(x_t-\bar{x})}{\sqrt{\sum_{t=1}^T(y_t-\bar{y})^2} \sqrt{\sum_{t=1}^T(x_t-\bar{x})^2}}\)

7.3.1 예제: 미국 소비지출량

us_change |> GGally::ggpairs(columns = 2:6)

8 자기상관(ACF/PACF)

8.1 시차 관계

lag plot은 \(y_t\)와 \(y_{t-k}\)의 관계를 그려 자기상관 구조를 직관적으로 보여준다.
선형성/비선형성, 군집/이상값 등을 시각적으로 파악하고, AR(p) 차수 가늠에 도움이 된다.

8.1.1 예제: 맥주 생산

new_production <- aus_production |>
  filter(year(Quarter) >= 1992)
new_production

new_production |> gg_lag(Beer, geom = "point")

각각의 그래프는 각기 다른 \(k\) 값에 대한 \(y_{t-k}\)와 \(y_t\)의 관계를 보여준다.

new_production |> gg_lag(Beer)

8.2 자기상관(ACF/PACF)

ACF는 전체 자기상관을, PACF는 중간 시차 효과를 제거한 순수한 자기상관을 보여준다.
AR 모형 후보는 PACF 절단, MA 모형 후보는 ACF 절단 패턴을 보이는 경향이 있다(경험칙).
정상성 가정 하에서 해석하며, 비정상(추세/계절)일 땐 변환/차분 후 확인한한다.

8.2.1 예제: 맥주 생산

new_production |> gg_lag(Beer, geom = "point")

각각의 그래프는 각기 다른 \(k\) 값에 대한 \(y_{t-k}\)와 \(y_t\)의 관계를 보여준다.
자기상관이란 이 산포도에서 보이는 상관관계를 나타낸다.

8.2.2 자기상관(Autocorrelation) 정의와 표기

표본 자기공분산(lag \(k\))을 \(c_k\), 표본 자기상관을 \(r_k\)라 하자. 표본평균 \(\bar y=\frac1T\sum_{t=1}^T y_t\)일 때,

\[ c_k \;=\; \frac{1}{T}\sum_{t=k+1}^T (y_t-\bar{y})(y_{t-k}-\bar{y}), \qquad r_k \;=\; \frac{c_k}{c_0}. \]

참고: 일부 교과서/소프트웨어는 \(c_k\) 분모를 \(T-k\)로 두는 불편(unbiased) 정의를 쓰기도 한다(위 식은 bias 버전). 핵심 개념과 해석은 동일하다.

\(r_1\): 연속 관측치 간(한 시점 차이) 선형 관련성
\(r_2\): 두 시점 차이(두 기간 간) 관련성
일반적으로 \(r_k\)는 \(y_t\)와 \(y_{t-k}\)의 표본 상관계수와 거의 같다(정의가 사실상 동일).

8.2.3 기본 성질 & 해석 기준

\(-1 \le r_k \le 1\).
정상성(weak stationarity)이 아닐 경우(추세·계절성 존재) ACF가 인위적으로 크게 나올 수 있다 → 차분/계절차분 또는 분해 후 분석 권장.
백색잡음이라면 대부분의 \(r_k\)가 0 부근이며, 대략 \(\pm 1.96/\sqrt{T}\) 안에 들 것(근사적인 유의대).

8.2.4 예시: 맥주 생산(분기, 계절성) 자료

첫 9개 시차의 자기상관을 계산:

new_production |> ACF(Beer, lag_max = 9)

시각화(상관도표, correlogram):

new_production |> ACF(Beer, lag_max = 9) |> autoplot()

용어
여러 시차의 \(r_k\)들을 모은 벡터 \((r_1,r_2,\dots)\)를 ACF(autocorrelation function)라 한다.
이를 막대그래프로 그린 것을 상관도표(correlogram) 라고 한다.

8.2.5 전체 시차 범위에서의 ACF

new_production |> ACF(Beer) |> autoplot()

\(r_4\)가 다른 시차보다 큰 이유: 계절 패턴(분기 주기 \(s=4\)) 때문. **정점(peak)**과 **저점(trough)**이 약 4분기 간격으로 반복.
\(r_2\)가 상대적으로 **음(−)**인 이유: 정점과 저점이 반주기(2분기) 간격으로 어긋나기 때문.

8.2.6 이론 보충

8.2.6.1 계절성과 ACF의 서명

계절 주기 \(s\)가 있으면 ACF가 \(k=s, 2s, 3s,\dots\)에서 반복적인 큰 스파이크를 보인다.
계절성 제거는 계절차분 \(\nabla_s y_t = y_t-y_{t-s}\) 또는 STL/X-13 계절조정을 활용.

8.2.6.2 순환(비고정 주기)과 ACF의 서명

경기순환처럼 주기가 변동하는 경우, ACF는 사인파처럼 진동하며 서서히 감쇠(감쇠 진동)하는 모양이 자주 나타난다(AR(2) 복소근 구조).

8.2.6.3 ACF vs. PACF

ACF: 전체 자기상관(중간 시차 효과 포함)
PACF: 부분 자기상관(중간 시차를 통제한 순수 효과)
- 경험칙: AR(\(p\))는 PACF가 \(p\)에서 절단(cutoff), MA(\(q\))는 ACF가 \(q\)에서 절단되는 경향.

8.2.6.4 유의성 판단(근사)

표본 크기 \(T\)에서, 백색잡음 가정하 유의대 \(\pm 1.96/\sqrt{T}\)를 참고(엄밀 검정은 Ljung–Box 등 사용).
다중시차 동시검정에는 Ljung–Box 검정이 적합: 잔차의 백색잡음 여부 판단.

8.2.7 실무 팁

추세/계절성 존재 시 그대로 ACF 해석 금지 → 로그/차분/계절차분 후 확인.
모형 적합 후 잔차 ACF가 유의하지 않게(대부분 유의대 내) 만들어야 양호한 모형.
계절성이 강한 분기 자료는 \(k=4,8,12,\dots\)에서 스파이크가 자연스럽다. 이 신호가 잔차에 남으면 계절 항(SARIMA, ETS의 계절 성분 등)을 보강.

8.3 자기상관함수 (Autocorrelation functions)

다음은 Allison Horst[“https://twitter.com/allison_horst]가 자기상관함수를 나타낸 아트워크이다.

8.4 ACF에서의 추세와 계절성 (Trend & Seasonality in ACF)

추세가 있으면 작은 시차의 자기상관이 크고 양수로 나타나는 경향이 있다.
계절성이 있으면 계절 주기의 배수(예: 분기 자료면 \(k=4,8,12,\dots\))에서 자기상관이 크게 나타난다.
추세와 계절성이 동시에 있으면 두 효과가 겹쳐서 보인다(작은 시차에서 큰 양의 상관 + 계절 시차에서 큰 스파이크).

8.4.1 이론 보충

1) 왜 추세가 ACF를 크게 만들까?

결정적 추세 \(y_t = \beta_0 + \beta_1 t + u_t\)가 있으면, 시간 \(t\)가 커질수록 평균이 달라져 **평균불변(정상성)**이 깨진다. 이때 원자료의 ACF는 추세 자체에 의해 양(+)의 상관이 생겨 과대평가된다.
확률적 추세(랜덤워크) \(y_t = y_{t-1} + \varepsilon_t\)도 비정상이라 원자료의 ACF가 천천히 감쇠하며 1에 가까운 값을 보인다.

2) 추세 제거(차분) 후 ACF 해석

일반 차분: \(\nabla y_t = y_t - y_{t-1}\) → 선형 추세 제거에 효과적.
랜덤워크의 경우 \(\nabla y_t = \varepsilon_t\)가 되어 차분 후 ACF는 거의 0(백색잡음)이어야 한다.
차분 후의 ACF/PACF를 가지고 ARMA 차수 선택을 한다(정상성 가정하 해석).

3) 계절성의 ACF 서명과 제거

계절 주기 \(s\)가 있으면 ACF에서 \(k=s, 2s, 3s,\dots\)에 반복적인 스파이크가 나타난다.
계절 차분: \(\nabla_s y_t = y_t - y_{t-s}\)로 계절 성분을 제거한다.
추세와 계절이 모두 있으면 복합 차분을 적용: \(\nabla^d \nabla_s^D y_t\). (보통 \(d\in\{0,1\}\), \(D\in\{0,1\}\))
모델링 관점에선 SARIMA 혹은 \(\text{ARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s\)로 표현한다.

4) 진단·실무 팁

원자료 ACF에서 작은 시차의 큰 양(+) 상관은 추세의 신호, 계절 시차 스파이크는 계절성의 신호다.
차분(및/또는 계절조정) 후의 ACF/PACF를 기준으로 모형 차수를 정한다.
표본 크기 \(T\)에서 백색잡음 가정의 유의대는 대략 \(\pm 1.96/\sqrt{T}\). (여러 시차 동시 검정은 Ljung–Box 권장)

8.4.2 간단 R 실습 예시

# 추세·계절성 진단과 차분 예시 (feasts/tidyverts)
library(tsibble)
library(feasts)
library(dplyr)

# 예: tsibble 객체 'x'와 변수 'y'가 있다고 가정
x |> ACF(y) |> autoplot()  # 원자료 ACF

# 1차 차분 후
x |> mutate(dy = difference(y)) |>
  ACF(dy) |> autoplot()

# 계절 차분(s=4) + 1차 차분 후
x |> mutate(dsy = difference(y, lag = 4),
            dsy1 = difference(dsy)) |>
  ACF(dsy1) |> autoplot()

요약: 원자료 ACF로 추세/계절성의 존재를 가늠 → 적절한(계절)차분으로 정상화 → 차분 후 ACF/PACF로 ARMA/SARIMA 차수 선택.

8.4.3 예제: 미국 소매업 취업자수

retail <- us_employment |>
  filter(Title == "Retail Trade", year(Month) >= 1980)
retail |> autoplot(Employed)

retail |>
  ACF(Employed, lag_max = 48) |>
  autoplot()

8.4.4 예제: 구글 주가

google_2015 <- gafa_stock |>
  filter(Symbol == "GOOG", year(Date) == 2015) |>
  select(Date, Close)
google_2015

google_2015 |> autoplot(Close)

google_2015 |>
  ACF(Close, lag_max = 100)

google_2015 |>
  ACF(Close, lag_max = 100) |>
  autoplot()

9 백색잡음(White noise)

9.1 이론 요약

백색잡음은 평균 0, 상수 분산, 자기상관이 0인 시계열.
좋은 모형의 잔차는 백색잡음이어야 함(잔차 ACF에서 유의 자기상관이 없어야 함).
Ljung–Box 검정으로 잔차의 독립성(백색잡음 가설)을 점검

9.2 예제: 백색잡음(White noise)

set.seed(30)
wn <- tsibble(t = 1:50, y = rnorm(50), index = t)
autoplot(wn, y) + labs(title = "백색잡음 시계열 예시", x = "t", y = "y_t")

정의(이론)
백색잡음 \(\{y_t\}\)는 통상 다음을 가정함 \[ \mathbb{E}(y_t)=0,\qquad \mathrm{Var}(y_t)=\sigma^2\ \text{(상수)},\qquad \mathrm{Cov}(y_t,y_{t-k})=0\ \ (k\ne 0). \] 실무에서는 “시간에 따라 상관이 없고 평균 0, 분산이 일정”하면 백색잡음으로 보기도 함 (엄밀히는 독립성까지 요구하는 경우가 많음.)

9.3 백색잡음의 ACF

백색잡음의 표본 자기상관(처음 10개 시차)
\(r_{1}\)	\(r_{2}\)	\(r_{3}\)	\(r_{4}\)	\(r_{5}\)	\(r_{6}\)	\(r_{7}\)	\(r_{8}\)	\(r_{9}\)	\(r_{10}\)
0.014	-0.163	0.163	-0.259	-0.198	0.064	-0.139	-0.032	0.199	-0.024

wn |>
  ACF(y) |>
  autoplot() +
  labs(title = "백색잡음의 ACF", x = "Lag", y = "ACF")

백색잡음의 표본 자기상관은 각 시차에서 0에 가깝게 나타난다.
ACF 그림의 파란 실선은 보통 \(\pm 1.96/\sqrt{T}\) (근사 95% 유의한계)를 나타내며, 이 범위를 벗어나는 막대가 많다면 백색잡음이 아닐 가능성을 시사한다

표본분포(이론 보충)
백색잡음에서 \(r_k\)는 큰 표본에서 \[ r_k \ \overset{approx}{\sim}\ \mathcal{N}\!\left(0,\ \frac{1}{T}\right), \] 이므로 약 95%의 \(r_k\)가 \(\pm 1.96/\sqrt{T}\) 안에 들 것으로 기대함
여러 시차를 동시에 검정할 때는 Ljung–Box 검정을 활용

# Ljung-Box: 잔차의 백색잡음 여부 테스트(여기서는 자체 시계열)
Box.test(wn$y, lag = 10, type = "Ljung-Box", fitdf = 0)

## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  wn$y
## X-squared = 12.993, df = 10, p-value = 0.2241

9.4 예제: 호주 빅토리아주 돼지 도축수

pigs <- aus_livestock |>
  filter(State == "Victoria", Animal == "Pigs", year(Month) >= 2014)

autoplot(pigs, Count/1e3) +
  labs(y = "천 마리(Thousands)",
       title = "빅토리아주 월별 돼지 도축 수 (2014–2018)")

pigs |>
  ACF(Count) |>
  autoplot() +
  labs(title = "돼지 도축수의 ACF", x = "Lag(월)", y = "ACF")

시계열 그림만으로는 명확한 패턴 식별이 어려울 수 있음.
ACF에서 시차 12(월별 자료의 계절주기)와 시차 2에서 유의한 자기상관이 보이면,
이는 약한 계절성(연간 주기)과 반주기 근처의 상관을 시사함
따라서 이 시계열은 백색잡음이 아니다.

모형화 힌트(이론 보충)
- 계절성이 보이면 계절 차분 \(\nabla_{12} y_t = y_t - y_{t-12}\) 또는 계절 모형화(SARIMA, ETS 계절 성분)를 고려
- 추세와 계절이 함께 있을 때는 \(\nabla^d \nabla_{12}^D y_t\)처럼 복합 차분을 적용해 정상화 후 ACF/PACF로 차수를 판단
- 백색잡음/잔차 진단에는 ACF/PACF와 함께 Ljung–Box 검정을 병행함

경제자료분석과 예측 - #03 시계열 시각화

경제학과 김현학 교수

2025년 2학기